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<!DOCTYPE html>

<title>Module d'élasticité</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Module d'élasticité</span></h1>

</header>

</div>

<div>Module d'élasticité</div>

</div>

</div>

<div class="legend">Un module d'élasticité est le rapport entre une <a href="Tenseur_des_contraintes" title="Tenseur des contraintes">contrainte</a> et la <a href="Tenseur_des_d%C3%A9formations" title="Tenseur des déformations">déformation</a> relative qui en résulte.</div><table><caption class="hidden" style="">Données clés</caption>

<th scope="row"><a href="Unit%C3%A9s_de_base_du_Syst%C3%A8me_international" title="Unités de base du Système international">Unités SI</a></th>

<td>

<a href="Pascal_(unit%C3%A9)" title="Pascal (unité)">pascal</a> (MPa, GPa)</td>

</tr>

<tr>

<th scope="row"><a href="Dimension_(physique)" title="Dimension (physique)">Dimension</a></th>

<td>

</tr>

<tr>

<th scope="row">Nature</th>

<td> Grandeur <a href="Tenseur" title="Tenseur">tensorielle</a> <a href="Grandeur_intensive" class="mw-redirect" title="Grandeur intensive">intensive</a></td>

</tr>

<tr>

<th scope="row">Symbole usuel</th>

<td>

Suivant le module considéré : <a href="Module_de_Young" class="mw-redirect" title="Module de Young"><i>E</i></a>, <a href="Module_de_cisaillement" title="Module de cisaillement"><i>G</i></a>, <a href="Module_d'%C3%A9lasticit%C3%A9_isostatique" title="Module d'élasticité isostatique"><i>K</i></a>, <a href="Coefficient_de_Lam%C3%A9" class="mw-redirect" title="Coefficient de Lamé"><i>λ</i></a>, <a href="Coefficient_de_Poisson" title="Coefficient de Poisson"><i>ν</i></a>, <a href="Onde_sismique" title="Onde sismique"><i>M</i>, <i>P</i>-<i><span class="lang-en" lang="en">wave modulus</span></i></a></td>

</tr>

</tbody></table></div>

<p>Un <b>module d'élasticité</b> (ou <b>module élastique</b> ou <b>module de conservation</b>) est une <a href="Grandeur_physique" title="Grandeur physique">grandeur</a> intrinsèque d'un <a href="Mat%C3%A9riau" title="Matériau">matériau</a>, définie par le rapport d'une <a href="Tenseur_des_contraintes" title="Tenseur des contraintes">contrainte</a> à la <a href="Tenseur_des_d%C3%A9formations" title="Tenseur des déformations">déformation</a> <a href="D%C3%A9formation_%C3%A9lastique" title="Déformation élastique">élastique</a> provoquée par cette contrainte. Les <a href="D%C3%A9formation_d'un_mat%C3%A9riau" title="Déformation d'un matériau">déformations</a> étant <a href="Grandeur_sans_dimension" title="Grandeur sans dimension">sans dimension</a>, les modules d'élasticité sont <a href="Homog%C3%A9n%C3%A9it%C3%A9_(physique)" title="Homogénéité (physique)">homogènes</a> à une <a href="Pression" title="Pression">pression</a> et leur <a href="Unit%C3%A9_de_mesure" title="Unité de mesure">unité</a> <a href="Syst%C3%A8me_international_d'unit%C3%A9s" title="Système international d'unités">SI</a> est donc le <a href="Pascal_(unit%C3%A9)" title="Pascal (unité)">pascal</a> ; en pratique on utilise plutôt un multiple, le <abbr class="abbr" title="mégapascal">MPa</abbr> ou le <abbr class="abbr" title="gigapascal">GPa</abbr>. On utilise également le <a href="Newton_par_m%C3%A8tre_carr%C3%A9" class="mw-redirect" title="Newton par mètre carré">giganewton par mètre carré</a> (<abbr class="abbr" title="giganewton par mètre carré">GN/m²</abbr>) et dans le <a href="Syst%C3%A8me_d'unit%C3%A9s_imp%C3%A9riales" title="Système d'unités impériales">système d'unités impériales</a>, le <a href="Livre-force_par_pouce_carr%C3%A9" title="Livre-force par pouce carré">ksi</a><sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>.

</p><p>Le comportement élastique d'un matériau homogène <a href="Isotropie" title="Isotropie">isotrope</a> et linéaire est caractérisé par deux modules (ou constantes) d'élasticité indépendants. Le tableau nommé « Formules de conversion » en bas de page indique les relations des paires de modules d'élasticité, sur un total de six modules : <i>E</i>, <i>G</i>, <i>K</i>, <i>M</i>, <i>ν</i><sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> et <i>λ</i>. L'utilisation des relations données dans ce tableau nécessite cependant des corrections qui sont données dans la littérature<sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>.

</p><p>En <a href="Ing%C3%A9nierie" title="Ingénierie">ingénierie</a> <a href="R%C3%A9sistance_des_mat%C3%A9riaux" title="Résistance des matériaux">structurelle</a>, le choix le plus courant est la paire <a href="Module_de_Young" class="mw-redirect" title="Module de Young">module de Young</a> et <a href="Coefficient_de_Poisson" title="Coefficient de Poisson">coefficient de Poisson</a> (<i>E</i>, <i>ν</i>) ; la paire équivalente (<i>E</i>, <i>G</i>) est aussi utilisée. Le module <i>E</i> (lié à la <a href="Raideur_(m%C3%A9canique)" title="Raideur (mécanique)">raideur</a>) est souvent utilisé en <a href="Acoustique" title="Acoustique">acoustique</a>.

</p><p>La connaissance des caractéristiques <a href="Rh%C3%A9ologie" title="Rhéologie">rhéologiques</a> en fonction de la température revêt un grand intérêt. Les évolutions de modules ou de <a href="Viscosit%C3%A9" title="Viscosité">viscosités</a> sont souvent importantes. Voir aussi <a href="Temp%C3%A9rature_de_transition_vitreuse" title="Température de transition vitreuse">Température de transition vitreuse</a> (<i>T</i><sub>v</sub>) et <a href="Thermostabilit%C3%A9" title="Thermostabilité">Thermostabilité</a>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Typologie">Typologie</h2></div>

<p>Selon le <i>type</i> de déformation<sup id="cite_ref-4" class="reference"><a href="#cite_note-4"><span class="cite-bracket">[</span>4<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>, le module d'élasticité d'un matériau peut être :

</p>

<ul><li>le <a href="Module_de_Young" class="mw-redirect" title="Module de Young">module de Young</a> ou de <a href="Essai_de_traction" title="Essai de traction">traction</a>, d'élasticité longitudinale, de <a href="Compression_(physique)" title="Compression (physique)">compression</a>, de <a href="Flexion_(mat%C3%A9riau)" title="Flexion (matériau)">flexion</a> (<i>E</i><sub>f</sub>), souvent appelé simplement « <i>module d'élasticité</i> » (<i>E</i>) ;</li>

<li>le <a href="Module_de_cisaillement" title="Module de cisaillement">module de cisaillement</a> ou d'élasticité tangentielle, de <a href="Torsion" title="Torsion">torsion</a> (<i>G</i><sub>to</sub>), <abbr class="abbr" title="et cetera">etc.</abbr> (<i>G</i>) ;</li>

<li>le <a href="Module_d'%C3%A9lasticit%C3%A9_isostatique" title="Module d'élasticité isostatique">module d'élasticité isostatique</a> ou de <a href="Compressibilit%C3%A9" title="Compressibilité">compressibilité</a>, de compression en flambage, <abbr class="abbr" title="et cetera">etc.</abbr> (<i>K</i>) ;</li>

<li>ou le <a href="Onde_sismique" title="Onde sismique">module d'onde de compression</a> ou d'onde plane (<i>L</i><sup id="cite_ref-5" class="reference"><a href="#cite_note-5"><span class="cite-bracket">[</span>5<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> ou <i>M</i>).</li></ul>

<p>Divers types de modules d'élasticité correspondant aux différents types de déformation (exemples) :

</p>

<th>Comportement du matériau</th>

<th><a href="Loi_de_comportement" title="Loi de comportement">Loi de comportement</a>

</th></tr>

<tr>

<td><a href="Module_de_traction" class="mw-redirect" title="Module de traction">Module de traction</a></td>

<td>Soumis à une contrainte uniaxiale <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\rm {\sigma _{E}}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\rm {\sigma _{E}}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/04c5a6030b30a89c5bbe73f82f01687414d2a9cc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.679ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle {\rm {\sigma _{E}}}}" loading="lazy"></span>, l'échantillon subit une dilatation linéaire <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\rm {\varepsilon _{E}}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\rm {\varepsilon _{E}}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9d7df597ebcd6bfccd4d3f8439ed3c82526f62f1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.435ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle {\rm {\varepsilon _{E}}}}" loading="lazy"></span> faible par rapport à l'épaisseur.</td>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma _{\text{E}}=E_{\text{t}}\ \varepsilon _{\text{E}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/519c69a849067f6934bcaea2ab60d60b6d272214.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.38ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \sigma _{\text{E}}=E_{\text{t}}\ \varepsilon _{\text{E}}}" loading="lazy"></span>

</td></tr>

<tr>

<td><a href="Module_de_cisaillement" title="Module de cisaillement">Module de cisaillement</a></td>

<td>Soumis à une <a href="Contrainte_de_cisaillement" title="Contrainte de cisaillement">contrainte de cisaillement</a><sup id="cite_ref-6" class="reference"><a href="#cite_note-6"><span class="cite-bracket">[</span>6<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\rm {\sigma _{C}}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\rm {\sigma _{C}}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b876fbdfcc95fc6c9b418b5247c892b28bda5b48.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.746ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle {\rm {\sigma _{C}}}}" loading="lazy"></span>, l'échantillon subit une déformation <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\rm {\varepsilon _{C}}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\rm {\varepsilon _{C}}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f697f6a6b4f7ac2271a5e9a58836e619f8a23b96.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.502ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle {\rm {\varepsilon _{C}}}}" loading="lazy"></span> sans changer de volume.</td>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma _{\text{C}}=G_{\text{s}}\ \varepsilon _{\text{C}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ccc88cee467b413a5a2c1aec9b0f986430611ae1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.634ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \sigma _{\text{C}}=G_{\text{s}}\ \varepsilon _{\text{C}}}" loading="lazy"></span>

</td></tr>

<tr>

<td><a href="Module_de_compressibilit%C3%A9_m%C3%A9canique" class="mw-redirect" title="Module de compressibilité mécanique">Module de compressibilité mécanique</a></td>

<td>Soumis à une contrainte de compressibilité <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\rm {\sigma _{K}}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\rm {\sigma _{K}}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0e77ccf190a9e8e92e3b1c9f9051618eb710f4bd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.838ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle {\rm {\sigma _{K}}}}" loading="lazy"></span>, l'échantillon subit une variation de volume <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\rm {\varepsilon _{K}}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\rm {\varepsilon _{K}}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0152819367259f2ee88480d3b9fa83367a4326d1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.594ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle {\rm {\varepsilon _{K}}}}" loading="lazy"></span> sans changer de forme.</td>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma _{\text{K}}=K\ \varepsilon _{\text{K}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4fb5e24360ad1300b5571f44b111db2f42a7430.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.178ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \sigma _{\text{K}}=K\ \varepsilon _{\text{K}}}" loading="lazy"></span>

</td></tr>

<tr>

<td><a href="Onde_sismique" title="Onde sismique">Module en déformation uniaxiale</a></td>

<td>Soumis à une contrainte de pseudo-compressibilité <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\rm {\sigma _{M}}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\rm {\sigma _{M}}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6caf7a40c65fb3e00bf722f73c77279596dcffea.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.066ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle {\rm {\sigma _{M}}}}" loading="lazy"></span>, l'échantillon subit une variation de volume <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\rm {\varepsilon _{M}}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\rm {\varepsilon _{M}}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d5dd2ccdd4f115e4056ca447159ac1c87ca70a7c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.823ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle {\rm {\varepsilon _{M}}}}" loading="lazy"></span> sans changer de forme.<br>La déformation résultante est grande par rapport à l'épaisseur.</td>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma _{\text{M}}=L\ \varepsilon _{\text{M}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/24c064314325160c8f15ee591779af912acdcd6b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.151ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \sigma _{\text{M}}=L\ \varepsilon _{\text{M}}}" loading="lazy"></span>

</td></tr></tbody></table>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Modules_en_régime_dynamique"><span id="Modules_en_r.C3.A9gime_dynamique"></span>Modules en régime dynamique</h2></div>

<p>En général, pour un matériau <a href="Visco%C3%A9lasticit%C3%A9" title="Viscoélasticité">viscoélastique</a>, il n'existe pas de relation contrainte <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \leftrightarrow }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \leftrightarrow }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/046b918c43e05caf6624fe9b676c69ec9cd6b892.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.324ex; height:1.843ex;" alt="{\displaystyle \leftrightarrow }" loading="lazy"></span> déformation (équation rhéologique) indépendante du <a href="Temps_(physique)" title="Temps (physique)">temps</a> (<i>t</i>), c'est le cas notamment du rapport <a href="Contrainte_(m%C3%A9canique)" title="Contrainte (mécanique)">contrainte</a> sur <a href="D%C3%A9formation_d'un_mat%C3%A9riau" title="Déformation d'un matériau">déformation</a>. Le rapport contrainte dynamique <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma (t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma (t)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/37d0ec2fbe49749b21f2d391656ef60cfb269735.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.979ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \sigma (t)}" loading="lazy"></span> sur déformation dynamique <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon (t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon (t)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dcc74fc545ab3f54592db8fccce157170d9a431d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.732ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon (t)}" loading="lazy"></span> d'un matériau viscoélastique soumis à une vibration <a href="Signal_sinuso%C3%AFdal" title="Signal sinusoïdal">sinusoïdale</a> est appelé <i>module complexe</i> ou <i>module dynamique</i> ou <i>module viscoélastique</i>, noté <i>M</i>*<sup id="cite_ref-7" class="reference"><a href="#cite_note-7"><span class="cite-bracket">[</span>7<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</msup>

<msup>

</msup>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M^{*}(t)={\frac {\sigma (t)}{\varepsilon (t)}}=M'(t)+iM''(t)={\frac {1}{C^{*}(t)}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/602e6b1ad5559ba9b7bfa9fb00af8392997474c4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:42.409ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle M^{*}(t)={\frac {\sigma (t)}{\varepsilon (t)}}=M'(t)+iM''(t)={\frac {1}{C^{*}(t)}}}" loading="lazy"></span></center>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

<mrow>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |M|^{2}=\left({\frac {\sigma _{\text{A}}}{\varepsilon _{\text{A}}}}\right)^{2}=(M')^{2}+(M'')^{2}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/df065fa07d41522c0ae90840da8f505c454ad1e2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:34.478ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle |M|^{2}=\left({\frac {\sigma _{\text{A}}}{\varepsilon _{\text{A}}}}\right)^{2}=(M')^{2}+(M'')^{2}}" loading="lazy"></span></center>

<p>avec :

</p>

<dl><dd><i>M'</i>, le <i>module de conservation</i>, partie réelle de <i>M</i>*, représentant la composante élastique de <i>M</i>* et la rigidité du matériau viscoélastique ;</dd>

<dd><i>M''</i>, le <i>module de perte</i>, partie imaginaire de <i>M</i>*, représentant la composante visqueuse de <i>M</i>* ;</dd>

<dd><i>C</i>*, la <a href="Complaisance_(mat%C3%A9riau)" title="Complaisance (matériau)">complaisance</a> complexe, pour un comportement viscoélastique linéaire ;</dd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma _{\text{A}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/465523604f7812ba9bb1eb09fc3f75b961eb29d8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.792ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \sigma _{\text{A}}}" loading="lazy"></span> et <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon _{\text{A}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon _{\text{A}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e76f5a877fe6083907c257651f53c1b0cf65bbfe.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.548ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon _{\text{A}}}" loading="lazy"></span>, les amplitudes des cycles de contrainte et de déformation, respectivement.</dd></dl>

<p>Les contraintes élastiques et visqueuses sont liées aux propriétés du matériau par le module.

</p><p>Le schéma ci-dessus représente diverses propriétés mécaniques dynamiques dans le <a href="Plan_complexe" title="Plan complexe">plan complexe</a>, dans une expérience utilisant des déformations sinusoïdales ; <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c5321cfa797202b3e1f8620663ff43c4660ea03a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \delta }" loading="lazy"></span> est l'<i><a href="Analyse_m%C3%A9canique_dynamique#Facteur_d'amortissement_ou_de_perte_tan_δ" title="Analyse mécanique dynamique">angle de phase</a></i> entre la contrainte et la déformation.

</p><p>Un matériau est considéré comme viscoélastique linéairement si, lorsqu'il est faiblement déformé, le rapport contrainte sur déformation (ou module) n'est fonction que de la <a href="Fr%C3%A9quence" title="Fréquence">fréquence</a> (ou du temps) et de la <a href="Temp%C3%A9rature" title="Température">température</a> (<i>T</i>). À partir d'un <a href="Limite_d'%C3%A9lasticit%C3%A9" title="Limite d'élasticité">niveau de déformation critique</a>, le comportement de l'échantillon est non linéaire.

</p><p>Un module viscoélastique est déterminé en <a href="Analyse_m%C3%A9canique_dynamique" title="Analyse mécanique dynamique">DMA</a> à partir de la géométrie et de la <a href="Raideur_(m%C3%A9canique)" title="Raideur (mécanique)">raideur</a> dynamique de l'<a href="%C3%89chantillon_(mati%C3%A8re)" title="Échantillon (matière)">échantillon</a>. Par exemple, les modules viscoélastiques <i>E'</i> et <i>E''</i> d'un solide déformable peuvent être mesurés en DMA en soumettant l'échantillon à une contrainte de traction-compression ou de flexion. Les modules viscoélastiques <i>G'</i> et <i>G''</i> d'un produit solide, d'un (<a href="Polym%C3%A8re" title="Polymère">polymère</a>) fondu, d'une <a href="R%C3%A9sine_(constituant)" title="Résine (constituant)">résine</a>, d'un <a href="Bitume" title="Bitume">bitume</a>, <abbr class="abbr" title="et cetera">etc.</abbr>, peuvent être mesurés en DMA ou au moyen d'un <a href="Rh%C3%A9om%C3%A8tre" title="Rhéomètre">rhéomètre</a> dynamique (hors échantillon solide dans ce dernier cas) ; la <a href="Caract%C3%A9risation_d'un_mat%C3%A9riau" title="Caractérisation d'un matériau">caractérisation</a> se fait en torsion (sur un solide) ou en cisaillement.

</p><p>La <a href="Viscosit%C3%A9_dynamique" title="Viscosité dynamique">viscosité dynamique</a> <i>η'</i> est proportionnelle à <i>G''</i>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Notes_et_références"><span id="Notes_et_r.C3.A9f.C3.A9rences"></span>Notes et références</h2></div>

<li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="III2011"><span class="ouvrage" id="James_H._Allen_III2011"><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> James H. Allen <span class="nom_auteur">III</span>, <cite class="italique" lang="en">Mechanics of Materials For Dummies</cite>, John Wiley & Sons, <time class="nowrap" datetime="2011-06-15" data-sort-value="2011-06-15">15 juin 2011</time> <small style="line-height:1em;">(<a href="International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <span class="nowrap">978-1-118-08901-9</span>, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.be/books?id=FChOJEdcZHsC">lire en ligne</a>)</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Mechanics+of+Materials+For+Dummies&rft.pub=John+Wiley+%26+Sons&rft.aulast=III&rft.aufirst=James+H.+Allen&rft.date=2011-06-15&rft.isbn=978-1-118-08901-9&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AModule+d%27%C3%A9lasticit%C3%A9"></span></span></span></span>

</li>

<li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a> </span><span class="reference-text">D'après la norme <abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : français">(fr)</abbr> ISO 6721-1:1994(F), <i>Plastiques - Détermination des propriétés mécaniques dynamiques - Partie 1 : Principes généraux</i>, le coefficient de Poisson a pour symbole <i>µ</i>.</span>

</li>

<li id="cite_note-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-3">↑</a> </span><span class="reference-text">D'après la norme ISO 6721-1:1994(F), qui indique par exemple les références [1] et [2] citées dans la <a href="#Bibliographie">Bibliographie</a>.</span>

</li>

<li id="cite_note-4"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-4">↑</a> </span><span class="reference-text">À ne pas confrondre avec les <i>modes</i> de déformation que sont le <a href="Fluage" title="Fluage">fluage</a> et la <a href="Relaxation_de_contrainte" title="Relaxation de contrainte">relaxation</a>, liés à leur dépendance temporelle.</span>

</li>

<li id="cite_note-5"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-5">↑</a> </span><span class="reference-text">D'après la norme ISO 6721-1:1994(F), le module en compression uniaxiale (sur feuilles minces) a pour symbole <i>L</i><sub>c</sub> et le module en onde de compression longitudinale a pour symbole <i>L</i><sub>w</sub>.</span>

</li>

<li id="cite_note-6"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-6">↑</a> </span><span class="reference-text">Cisaillement, en <a href="Anglais" title="Anglais">anglais</a> : <span class="lang-en" lang="en"><i>shear</i></span>, d'où la notation <i>G</i><sub>s</sub> pour le module correspondant.</span>

</li>

<li id="cite_note-7"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-7">↑</a> </span><span class="reference-text">À ne pas confrondre avec le module d'onde de compression, <i>L</i> ou <i>M</i>.</span>

</li>

</ol></div>

</div>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Voir_aussi">Voir aussi</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Bibliographie">Bibliographie</h3></div>

<ul><li>[1] Nederveen, C.J. et van der Wal, C.W., <i>Rheol. Acta</i>, <b>6</b> (4), <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 316 (1967)</li>

<li>[2] Read, B.E. et Dean, G.D., <i>The determination of dynamic properties of polymers and composites</i>, 207 <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr>, Adam Hilger, Bristol, 1978 <small style="line-height:1em;">(<a href="International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <span class="nowrap">0-85274-363-7</span>)</small></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Articles_connexes">Articles connexes</h3></div>

<ul><li><a href="Coefficient_de_Lam%C3%A9" class="mw-redirect" title="Coefficient de Lamé">Coefficient de Lamé</a></li>

<li><a href="Coefficient_de_s%C3%A9curit%C3%A9" title="Coefficient de sécurité">Coefficient de sécurité</a></li>

<li><a href="Complaisance_(mat%C3%A9riau)" title="Complaisance (matériau)">Complaisance</a></li>

<li><a href="D%C3%A9formation_%C3%A9lastique" title="Déformation élastique">Déformation élastique</a></li>

<li><a href="Essai_m%C3%A9canique" title="Essai mécanique">Essai mécanique</a></li>

<li><a href="Facteur_de_forme_(m%C3%A9canique)" title="Facteur de forme (mécanique)">Facteur de forme</a></li>

<li><a href="Module_de_relaxation" title="Module de relaxation">Module de relaxation</a></li>

<li><a href="Module_de_Young" class="mw-redirect" title="Module de Young">Module de Young</a></li>

<li><a href="Notion_de_module" title="Notion de module">Notion de module</a></li>

<li><a href="Loi_de_Hooke" title="Loi de Hooke">Loi de Hooke</a></li>

<li><a href="Principe_d'%C3%A9quivalence_temps-temp%C3%A9rature" title="Principe d'équivalence temps-température">Principe d'équivalence temps-température</a></li>

<li><a href="Rh%C3%A9ologie_des_solides" title="Rhéologie des solides">Rhéologie des solides</a></li>

<li><a href="Tenseur_des_constantes_%C3%A9lastiques" title="Tenseur des constantes élastiques">Tenseur des constantes élastiques</a></li></ul>

</div>

<ul id="bandeau-portail" class="bandeau-portail"><li><span class="bandeau-portail-element"><span class="bandeau-portail-icone"><span class="noviewer" typeof="mw:File"></span></span> <span class="bandeau-portail-texte">Portail de la physique</span> </span></li> <li><span class="bandeau-portail-element"><span class="bandeau-portail-icone"><span class="noviewer" typeof="mw:File"></span></span> <span class="bandeau-portail-texte">Portail des sciences des matériaux</span> </span></li> </ul></div><div><div class="zim-footer">

Cet article est issu de <a class="external text" title="Dernière modification le 2024-02-09" href="https://fr.wikipedia.org/wiki/?title=Module_d'%C3%A9lasticit%C3%A9&oldid=212279979">Wikipédia</a>. Sauf mention contraire, le texte est disponible sous <a class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.fr">Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0</a>. Des conditions supplémentaires peuvent s’appliquer aux fichiers multimédias.

</div>

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</body></html>